Комплексные числа.

[chegevara]

Здравствуйте. Хотел спросить "без купюр" читал и пытался понять суть комплексных чисел.На форуме забил в поиск ничего не нашёл.Начинаю смотреть информацию всё понятно складывается и так далее, но почему по вертикальной оси просто нельзя написать на комплексное число и просто какое-то другое?Прошу совет или информацию.Так как по крайней мере по примерам с ютуба можно было бы и без комплексной"приписки " обойтись.Спасибо.

[Ryzhij]

Комплексные числа - это аппарат математической абстракции, применяемый для расчётов процессов на плоскости (поверхности) или в пространстве используемой математической модели.
В зависимости от размерности модели используются и комплексные числа разной размерности.
Так, для расчётов в магазине нам достаточно одних натуральных чисел, тогда как экономика требует уже привлечения понятия отрицательных чисел, тригонометрия оперирует уже с двумерными комплексами, и так далее...
Слышал, что для расчётов траекторий космических аппаратов привлекают уже кватернионное исчисление (от "quatro"). Это когда в ход идут четырёхмерные комплексные числа с одной действительной и тремя мнимыми частями.
Всё дело в математической модели.

[Михайло]

В школе изучают числа - простейшие математические объекты и вроде вопросов не возникает. Но оказывается есть и другие объекты - функции, матрицы, комплексные числа, множества, графы и т.д. Комплексные числа многим не понятны. Просто они так похожи на обычные числа и операции у них похожи. Но это не одно и то же! Это совершенно новые объекты. Не надо их понимать, надо просто запомнить. Они просто удобны. И все.

[VADR]

Не надо их понимать, надо просто запомнить.

Хм... нельзя так в математике. Надо как раз понять - и тогда всё запомнится само. Как объяснял один из моих преподов по одной из математик, число - это точка в пространстве, а какова размерность пространства - это уже частности. Для одномерного пространства (на числовой прямой) это "обычные" числа, для двумерного (плоскость) - комплексные и т.п.

[Михайло]

Хм... нельзя так в математике.

Ну конечно же, надо что-то понимать. Но я веду речь о математическом объекте, который записывается как j или i, и он в квадрате равен минус единице. Мистика. Как понять эти комплексные числа? А никак, это элементарный математический объект, над которым определены некоторые математические операции. Загадочным образом похожи на числа и операции над числами.
Можно определить математические объекты A, B и С, определить операцию "кря-кря", которая преобразует A B, B C, C A. Зачем понимать объекты A, B и C? Мы же явно видим, что они искусственны.
А комплексные числа и операции над ними придумали не просто так. Они конечно же естественны, часто употребляемы. Матрицы, например, тоже не просто так придуманы.
Кстати говоря, можно избавиться от мистичности комплексных чисел, если комплексное число записывать как вектор (x, y). Соответственно операции над комплексными числами будут больше похожи на матричные преобразования, например, произведение (2,3)*(1,1)=(-1,5). Знак умножения в такой записи следует помечать как-нибудь, чтобы не путать с оператором умножения матриц.
Надеюсь матрицы не выглядят мистически?

[rwg]

Когда какой-то учёный придумал отрицательные числа, обыватели тоже были в шоке и долго к ним привыкали. В моём понимании комплексное число - это число с направлением на плоскости. Например как простым числом записать "перемещение на 3 км на юго-восток" или "усиление синусоидального сигнала в 3 раза с задержкой фазы на 45 градусов", а комплексным числом это записывается элементарно, это их стихия. А математика комплексных чисел потом позволяет все эти числа обработать такими же элементарными методами.

[chegevara]

Именно то что за место привычных X и Y стоит квадратный корень из минус единице вводит в ступор.

[alex45]

Я думаю, комплексные числа придумали только для удобства и сокращения объёма вычислений. В принципе можно было бы обойтись и без ник (и обходились ведь когда-то), но объём вычислений будет в разы больше.
Это тоже самое, что сложение одинаковых чисел заменить умножение, а умножение одинаковых заменить возведением в степень.

ЗЫ. Кстати, математики ставят ударение на второй слог: не кОмплексные, а комплЕксные.

[VADR]

ЗЫ. Кстати, математики ставят ударение на второй слог: не кОмплексные, а комплЕксные.

Тот же препод нам говорил, что по ударению в слове "комплексные" можно отличить заочника от дневного студента. Дневной студент слышит, как говорит преподаватель на лекции, а заочник - читает учебник и ставит ударение так, как считает нужным.
А дочка моя, студентка-второкурсница мне заявила, что кОмплексным бывает обед, а числа - комплЕксные :). Тоже, видимо, со слов препода.

[Ryzhij]

Ну конечно же, надо что-то понимать. Но я веду речь о математическом объекте, который записывается как j или i, и он в квадрате равен минус единице. Мистика.

Ну, эта "мистика" называется "математической аксиомой". В ней не больше мистицизма, чем в аксиоматических определениях понятий "точка", "прямая", "луч", "плоскость", "отрицательное число" или "вектор".
Потребность аналитической геометрии в мнимой единице возникла сразу, как только надо было описать поведение функций при отрицательных значениях координат.
Это часть математической модели пространства событий.
Без понятия мнимой единицы, например, уравнение окружности с центром в начале координат \(x^2+y^2=const\) описывало бы только дугу в 90 градусов в положительном квадранте.

Лично у меня при выполнении РГР (рассчётно-графических работ) и курсовых с привлечением комплексных чисел тоже поначалу "съезжала крыша" и "оттопыривались чакры". Как я сейчас понимаю, мне сложно было принять дуализм представления комплексного числа одновременно в ортогональных (прямоугольных, декартовых) и в полярных координатах.
Ведь складывать/вычитать их удобнее в декартовом представлении, а умножать/делить - в полярном.
Но число-то одно и то же!
Вот это постоянное перепрыгивание с одной формы представления на другую, с одной системы координат на другую, изрядно "кипятило мозг". Лично мне.

[VADR]

уравнение окружности с центром в начале координат xx+yy=const

Красивше выглядит так: \(x^2+y^2=const\), у нас такой синтаксис сейчас поддерживается.

Код: Выделить всё

 [latex]x^2+y^2=const[/latex]

[Ryzhij]

Красивше выглядит так: \(x^2+y^2=const\), у нас такой синтаксис сейчас поддерживается.

Вау!!!

Буду знать...

[chegevara]

Вообщем самый интерес комплексные числа представляют при записи токов вот собственно почему я на них и наткнулся...

[Никита]

Не, самый интерес будет в анализе и синтезе линейных систем с преобразованием Лапласа и переходом от времени к комплексным координатам :)

[Ryzhij]

Ну да, известно, что инженеры делятся на две категории:
1. Те, кто не понимает преобразований Лапласа;
2. Те, кто врет, что их понимает.

[izhidkov]

10 лет прошло а я до сих пор помню как во 2м семестре на РГР по матану высчитывал на калькуляторе коэффициенты разложения какой то функции (кажется графически заданной) в ряд Лапласа (до 5-6 ряда), а затем по ним восстанавливал ее на бумаге. Эпический труд был )

[Михайло]

Вообщем самый интерес комплексные числа представляют при записи токов вот собственно почему я на них и наткнулся...

Представь себе. Ты можешь продолжать работать с \(u = U_m \cdot \sin(\omega t+\phi)\), но с абстрактными комплексными числами просто удобнее. Ты от реальных синусов переходишь в абстрактные комплексные числа, выполняешь эквивалентные преобразования, затем выходишь из абстрактного мира обратно в реальный мир. Получается тот же результат, что если бы складывать синусоиды, умножать их на константы, не переходя в абстрактный мир. Математики доказали эквивалентность миров и подарили студентам-электрикам этот мистический инструмент - комплексные числа, но при этом ничего не рассказали. ))
Вскоре будет еще одна абстракция, связанная с оператором Лапласа \(p\).

[Aderman]

Комплексные числа это одна из основ для ПОНИМАНИЯ преобразования фурье и лапласа. Думаю почитав хорошую литературу про преобразования можно понять сам смысл введения комплексных чисел. Посоветую литературку
The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing :
https://www.amazon.com/Scientist-Engine ... 0966017633
Есть и перевод на русский данной книги. но честно говоря книга написана таким простым языком что даже знание англ на элементарном уровне хватает. Сама книга уникально объясняет преобразования =) комплексным числам посвящена глава.

[chegevara]

Комплексные числа это одна из основ для ПОНИМАНИЯ преобразования фурье и лапласа. Думаю почитав хорошую литературу про преобразования можно понять сам смысл введения комплексных чисел. Посоветую литературку
The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing :
https://www.amazon.com/Scientist-Engine ... 0966017633
Есть и перевод на русский данной книги. но честно говоря книга написана таким простым языком что даже знание англ на элементарном уровне хватает. Сама книга уникально объясняет преобразования =) комплексным числам посвящена глава.

Спасибо.Интересно было почитать.

[denisR]

Чтобы понять комплексные числа применительно к токам и напряжениям почитайте учебник "Теоретические основы электротехники" Л.А. Бессонов главу 3 я думаю вам станет понятно.

[Looker]

В мое студенческое время книга Зевеке Г.В... "Основы теории цепей" была лучше, чем книга Бессонова.

[hell_boy]

В старых учебниках комплексные числа назывались мнимые. Вот классический учебник Балк М.Б., Балк Г.Д., Полухин А.А. - Реальные применения мнимых чисел (1988)

[chegevara]

В старых учебниках комплексные числа назывались мнимые. Вот классический учебник Балк М.Б., Балк Г.Д., Полухин А.А. - Реальные применения мнимых чисел (1988)

ссылка надёжная?

[Looker]

Соседка училась на вечернем, я ей помогал и был "залет" по расчетке с замечанием: "Задачи решены правильно, но запись решения свидетельствует о том, что решал электрик, только они вместо "i" пишут "j" - требуется собеседование."
Пришлось обучать подробно и слезы превратились в улыбку.
Выше было про преобразование Лапласа - умный мужик Лаплас, но к комплексным числам отношения не имеет. Фурье ближе, но через Эйлера, а суть:

Надо как раз понять - и тогда всё запомнится само